沖刺輔導班高考_等差數(shù)列求和公式 求和的七種方式

沖刺輔導班高考_等差數(shù)列求和公式 求和的七種方式

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等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，可以用AP示意，若是一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差即是統(tǒng)一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d示意。

1.公式法

2.錯位相減法

3.求和公式

4.分組法

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后劃分求和，再將其合并即可.

5.裂項相消法

適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時抵消中央的許多項。

小結：此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后，其中中央的大部門項都相互抵消了。只剩下有限的幾項。

注重：余下的項具有如下的特點

1、余下的項前后的位置前后是對稱的。

2、余下的項前后的正負性是相反的。

6.數(shù)學歸納法

一樣平常地，證實一個與正整數(shù)n有關的命題，有如下步驟：

（1）證實當n取第一個值時命題確立；

（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題確立，證實當n=k+1時命題也確立。

例：

求證：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證實：

當n=1時，有：

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設命題在n=k時確立，于是：

1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

高考輔導機構

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則當n=k+1時有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1時原等式仍然確立，歸納得證

7.并項求和法

（常接納先試探后求和的方式）

例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

方式一：（并項）

求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再相減。

方式二：

（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

方式三：

組織新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復合。

an=n(-1)^（n+1）

等差數(shù)列的判斷

（1）a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數(shù)]等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

（3）a(n)=kn+b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數(shù)列。

特殊性子

在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。而且即是首末兩項之和；特其余，若項數(shù)為奇數(shù)，還即是中央項的2倍,

即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

例：數(shù)列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。而且即是首末兩項之和。

數(shù)列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若項數(shù)為奇數(shù)，和即是中央項的2倍，另見，等差中項。